L'albero della FFJM 1998. - E' dimostrabile?

[manderli]

Buongiorno a tutti,

ieri sera ho cliccato il link nel precedente messaggio di emanuele e mi sono perso un po' nel cercare di dimostrare la soluzione di un gioco, senza "cavare un ragno".

Come ho scritto nel titolo, il gioco in questione è il numero 5, "l'albero della FFJM".

Quello che cercavo di fare, era dimostrare che la somma della successione (progressione?), con n che va da 1 a 12, degli elementi 2^(n-1), che sarebbe anche (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^(n-1)) è uguale a (2^n)-1.

Io ho pensato che una dimostrazione con semplici passaggi non sia ottenibile.

Qualcuno sa che lo sia?

Ciao!

Macs

[bigjm87]

e elementare se fai 2^12-1 ti viene lo stesso lo stesso risultato della sommatoria delle prime 12 potenze del 2

1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048=4096-1=4095

[manderli]

Forse mi devo scusare per la poca chiarezza, ma non cercavo proprio questa risposta.

Quello che intendevo era chiedere se la seguente uguaglianza

SOMMA, per n che va da 1 a m, dei 2^(n-1) = (2^m)-1

sia dimostrabile con dei passaggi matematici e senza sostituire i valori numerici.

Ciao!

[ing.bennyp]

Dunque, si tratta della somma parziale di una serie geometrica del tipo:

k^0+k^1+k^2+.......k^(n-1)+.....

la cui somma è pari a (1-k^n)/(1-k)

sostituendo i valori forniti:

k=2 e n=12 la serie avrà somma parziale:

s=(1-2^12)/(1-2)=-(2^12-1)/(-1)=2^12-1=4095 cvd.

Ciao, Benny

PS. La dimostrazione fornita da bigjm87 dovrebbe essere riportata negli annali della matematica.....

[emanuele.croci]

Esattamente come dice Benny!

Oppure, se non conoscete le serie geometriche ed avete una preparazione da scuola superiore, ricordatevi di quando scomponevate

Xn - 1 = (X - 1) (Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 ..... + 1)

(sto scrivendo per miglior lettura "X elevato alla n" come Xn invece di X^n)

DIMOSTRAZIONE (fatta sul momento...)

Xn - 1 = Xn - Xn-1 + Xn-1 - Xn-2 + Xn-2 - Xn-3 + Xn-3 ....-1 =

..aggiungendo e togliendo Xn-1 , Xn-2 eccetera fino all'esponente zero

raccolgo quindi a coppie (X-1) ***

= Xn-1 (X-1) + Xn-2 (X-1) + Xn-3 (X-1) + 1 (X-1) =

..raccogliendo ancora

= (X-1) (Xn-1 + Xn-2 + Xn-3..... +1)

e quindi dividendo ambo i termini per X-1

1+ X + X2 +..... +Xn-1 = (Xn - 1)/(X-1)

C.V.D.

(*** nel raccogliere, ricordiamo che ad es. Xn-2 = Xn-3 * X)

O forse si poteva fare più elegantemente per induzione, ma ora mi sfugge....

Ciao, Emanuele

Modificato: 7 marzo 2007 da emanuele.croci

[emanuele.croci]

Comunque già che siamo in tema, vi faccio un altro quesito "più stimolante" che mi hanno proposto l'altro giorno:

DICESI numero TRIANGOLARE un numero intero che può essere scritto nella forma

1+2+3+4.... ecc... (somma di interi consecutivi a partire da 1)

Quindi ad es. 1,3,6,10,15,21 sono numeri triangolari (in quanto ad es. 15=1+2+3+4+5)

PROBLEMA

Siano A e B due numeri triangolari con

A-B=2007

Quante COPPIE (A, B ) esistono tali da soddisfare la relazione A-B=2007 ??

Suggerimento (dato dal problema): "si noti che 223 è un numero primo..."

Ciao, Emanuele

Modificato: 7 marzo 2007 da emanuele.croci

[siggo]

Ciao,

l'assunto iniziale si puo' dimostrare per induzione.

Verifica che sia vero per n=0:

2^0=1; la sommatoria comprende un unico elemento

2^1-1 = 2-1 =1

Se e' vero per n allora e' vero per n+1

Assunto per n:

SUM(per i = 0 a i=n-1)(2^i) = 2^n -1

Verifica per n+1

SUM(per i = 0 a i=n)(2^i) = SUM(per i = 0 a i=n-1)(2^i) + 2^n =

(per l'assunto precedente)= 2^n -1 +2^n =

(essendo 2^n+2^n = 2*2^n) = 2*2^n -1=

(ovvero)=2^(n+1) -1

Cioe'

SUM(per i = 0 a i=n)(2^i)=2^(n+1) -1

P.S.: SUM sta per sommatoria

Trascritto "su carta" e' piu' chiaro

[emanuele.croci]

Bravo!!

e sui numeri triangolari.... ?

Ciao, Emanuele

[emanuele.croci]

Diamo un piccolo suggerimento per il problema di cui sopra....

- ogni numero triangolare si può scrivere nella forma n(n+1)/2

- la fattorizzazione di 2007 è 2007=223 * 3 * 3

chi ci prova...?

ciao, Emanuele

[siggo]

A = 7260 (triangolare di 120)

B = 5253 (triangolare di 102)

E' l' unica soluzione?

P.S. si risolve considerando che la differenza di due numeri triangolari, di cui uno e' la sommatoria fino ad m e l'altro fino ad n-1 e' data da:

(m+n)(m-n+1)/2

... per induzione

[emanuele.croci]

Bravissimo Siggo!

Con un po' di sforzo, a partire dalla tua considerazione, puoi trovare tutte le soluzioni del problema.

(ricorda il suggerimento: 2007 = 223 * 3 * 3 ....!)

Le soluzioni sono svariate ma non tantissime:

ad es. un'altra è:

224785 (triangolare di 670) -

222778 (triangolare di 667) = 2007

Riesci a trovare le altre?

Ciao, Emanuele