equazioni differenziali a coeficienti variabili - metodi di risoluzione e/o simulazione

[Federico Milan]

Ciao a tutti,

senza troppo entrare nel dettaglio, mi trovo a dover simulare un sistema composto da eq. dif., solo che i parametri sono variabili (in funzione del tempo ben si intende, e in funzione del tempo).

La simulazione mi porta a risultati che non mi convincono, quindi sono a chiedere se c'è un metodo e/o letteratura a riguardo.

Credo, ma non ho ricordi a riguardo, che utilizzare funzioni iterative tipo ODE su sistemi a eq. dif. a parametri variabili porti a divergenze ...

grazie a tutti

ciao

[maguls]

Ciao,

non so se ancora può esserti utile il mio aiuto, com'è fatta la tua eq? è di questo tipo?

y'(x)+a(x)*y(x)=b(x)

[Beatrice_Ru]

Penso che non sia cosi facile imbattersi in queste simulazioni.

E' come nel caso dello studio dei Sistemi dinamici.

I sistemi dinamici sono modelli che evolvono nel tempo, con una legge descritta da una o più equazioni differenziali. Puoi guardare la teoria dei sistemi dinamici Hamiltoniani.

una classe di sistemi che contempla sia i sistemi conservativi della meccanica classica

come nelle teorie fisiche (relatività, meccanica quantistica)

ma anche nella gran parte della teoria dei controlli.

Il sistema dinamico con le equazioni di Hamilton viene descritto con un sistema

hamiltoniano H(p,q) (indipendente dal tempo)

in definitiva la Hamiltoniana stessa è un integrale primo.

Questo è un sito web molto curato:

http://copernico.dm.unipi.it/~milani/dinsis/node83.html

Un altro sistema di analisi numerica può essere l'uso dei metodi di Runge-Kutta

Un particolare studio dei sistemi dinamici nei semi conduttori:

http://www-num.math.uni-wuppertal.de/filea...es/ma_culpo.pdf

Spero che tu trovi la soluzione, Buon Lavoro Federico.

[fulvioromano]

Non che sia poi tanto preparato sull'argomento, ma direi più o meno quello che dice Beatrice.

Con le equazioni differenziali ho poca dimestichezza, ma quando ne ho bisogno (anche se a parametri variabili) faccio uno schemino in matlab e lo faccio evolvere. Mi da soluzione al transitorio e a regime con poca fatica. Può essere una soluzione? Nel senso, ti interessa solo la soluzione o ti serve il rigore matematico per dimostrazioni?

[Federico Milan]

Ciao maguls,

è passato un po' di tempo , ma in ogni caso il tuo modello è simile a quello che mi serve, con a(x) non lineare quindi non esprimibile con polinomi.

Per gli altri, usando matlab avevo delle soluzioni che onostamente non mi convicevano, quindi se ci sono dei metodi più generali o meglio velocemente capire se quanto simulato corrisponde a realtà oppure no.

Per Beatrice, è passato un po' di tempo e le Langrangiane e Hamiltoniane ormai son ricordi passati , dovrei vedere se riesco ad esprimere il cocetto con le coordinate generalizzate ... ma ... preferirei di no

[maguls]

Guarda è passato un pò di tempo da Analisi 2, ma non tantissimo

quella che ho scritto è appunto una EDO

ed ha una soluzione bella è pronta ma penso che tu la conosca bene, in ogni caso la posto:

y(perche')=e^{-[a(s) ds] da x0 a perchè} * {y₀+[b(s) * e^{[a(t) dt] da x0 a s} * ds] da x0 a perche'}

è un pò complicato scrivere le formule dobbiamo chiedere di inserire il modulo "equation"

saluti

correzione:

ahhhh il "perchè" è una "ics" !!!!

inoltre la formula è: e^ all'integrale calcolato da x0 a "ics", sull'ultimo esponente invece cambiamo la variabile in "s" per non incappare in un abuso di notazione

Per lo staff:

Non è possibile scrivere la "ics" forse è il caso di eliminare questo codice di correzione automatica

Modificato: 29 febbraio 2012 da maguls

[Federico Milan]

Ok ...

sapevo che alla fine bisonga fare fatica ... l'eq a(t) e b(t) in realtà sono vettoriali perchè composte da più coordinate e per quel poco che ho cercato non hanno una soluzione chiusa ...

se avrò un po' di tempo proverò a riprendere in mano la questione ...

ciao

[maguls]

a(t) e b(t) in realtà sono vettoriali perchè composte da più coordinate

ehh allora in Bocca al Lupo! che stai costruendo la macchina del tempo? hahahahahahha

Che ti dico è una bella sfida, potresti...(ma qui è un pò come la frase citata dal carissimo Mirko in un altra discussione)

"provare di nascosto l'effetto che fà" hahahahahah

se hai tre coordinate, la tua equazione differenziale vettoriale, potresti scomporla nelle sue tre componenti e quindi

ottenere 3 equazioni differenziali scalari, metterle a sistema e risolverle...

ricordo ad esempio quando si ricava il campo elettrico e il campo magnetico dalle equazioni di maxwell per un dipolo,

quello che si fa, (detto in breve) essendo le eq nient'altro che equazioni differenziali vettoriali, una scomposizione in equazioni scalari, si introducono i potenziali elettrodinamici per arrivare poi all'eq di Helmholtz.

[Federico Milan]

La questione è che non avevo molto tempo da dedicarci, avevo risolto in modo semplicistico sebbene con buoni risultati pratici.

Se ho un po' di tempo mi piacerebbe riprovare, probabilmente quanto avevo fatto non era la forma ottimale e probabilmente si riesce anche a tirar fuori una forma più semplice.

Credo comunque che la soluzione, trattandosi alla fine di un sistema dinamico reale, sia quanto proposto da Beatrice ... effettivamente posso ragionare in temrini di energia ... solo che sulla materia - Lagrangiane ed Halmitoniane - sono solo ricordi e niente più, dovrei ristudiare tutta la teoria e onestamente ...

ciao