Diagramma di Nyquist

[aduri]

Salve a tutti,

Spero di non essere OT in questa sezione ma i miei dubbi sono anche matematici sui numeri complessi (nota 3).

Sto preparandomi per un esame di controlli automatici (da autodidatta) essendo studente lavoratore e chiederei cortesemente se potevate controllarmi i passaggi di questa analisi di una FDT.

Potete spiegarmi i passaggi di nota 1,2, e 3.

Grazie

Antonio

FDT da analizzare:

G(s)= 20 / (1+s)(1+0,25s)(s+2)

FDT di tipo 0 poli R <0 implica sistema asintoticamente stabile

Deg Denominatore>Deg Numeratore implica Passa basso

Portiamo la FDT in forma di Bode:

G(s)= 40 / (1+s)(1+4s)(1+0,5s)

Facciamo l’analisi di risposta in frequenza:

G(jw)= 40 / (1+ jw)(1+4 jw)(1+0,5 jw)

Lim G(jw) per w tendente a 0+ = 40

Fase iniziale f(0): arctg 0/40 =0 (tg all’asse reale)

Lim G(jw) per w tendente a infinito+ = 0

G(jw)= 40 / (1+ 5jw+4 w^2)(1+0,5 jw)

G(jw)= 40 / (1+ 0,5jw+4jw-2w^2+jw+0,5w^2-4w^2-2jw^3)

nota 1)

Eliminiamo le potenze di w >=2 e si ottiene G(jw) per w piccolo

G(jw)=40 / (1+5,5jw) implica fase G(jw)= arctg 0-arctg 5,5w=0-80=-80gradi<0

nota 2)

Ottengo quindi una fase negativa e quindi senso orario del diagramma di Nyquist.

Verifichiamo la presenza di asintoti

Lim per w tendente infinito della fase di G(jw)=f(0)-(deg Den-deg Num)90gradi=-270 gradi

Dividiamo tra parte reale e parte immaginaria e troviamo l’incontro del diagramma con l’asse reale e l’asse immaginario:

nota 3)

Re(G(jw))=0 implica 1+6,5^2 implica w1=0,15 implica -j19,64 (non capisco il passaggio da 0,15 a implica j19,64?????)

Im(G(jw))=0 implica w(5,5-2w^2)implica w2=1,66 implica -2,37 (non capisco il passaggio da 1,66 a implica 2,37?????)