Vincere il premio - Scegliere 1 di 3 porte

[ing.bennyp]

Il problema, apparentemente banale, fu risolto da una casalinga americana, esperta di enigmistica, inizialmente sbeffeggiata dai cattedratici americani in matematica, ma la sua soluzione era quella corretta.

In un gioco a premi viene messa in palio un'automobile. Il presentatore mostra al concorrente tre porte chiuse (che contrassegneremo simbolicamente con A, B e C) ed afferma che l'automobile è dietro una delle porte. Il presentatore invita quindi il concorrente a scegliere una delle porte. Dopo la scelta, supponiamo la porta B, il presentatore apre una delle due porte che il concorrente non ha scelto, supponiamo la porta C, per mostrargli che lì non c'è la automobile.

Supponiamo che il presentatore, dopo aver aperto una porta vuota, supponiamo la C, dia al concorrente l'opportunità di cambiare la sua scelta, scegliendo eventualmente la porta A. E' conveniente farlo?

Ovviamente la risposta va data nei seguenti termini:

- non conviene cambiare mai;

- cambiare o meno è del ttto indifferente;

- conviene cambiare sempre

possibilmente spiegandone anche le ragioni.

Non ci sono trucchi, ovviamente, è un problema di calcolo delle probabilità.

Ovviamente chi già conosce la risposta non rovini il gioco a chi voglia dilettarsi.

Ciao, Benny

Modificato: 7 marzo 2007 da ing.bennyp

[emanuele.croci]

Ciao Benny,

hai fatto bene a segnalarlo perché è uno dei problemi più sorprendenti che esistano!

Anche se ormai un po' "datato".....

Evito quindi di dare la soluzione per chi non la conoscesse.

Ciao,

Emanuele

P.S. : attendo con ansia qualche problema "nuovo"

[Silberg]

Probabilmente, anzi, sicuramente, sono io che sono un po' tardo, però non capisco una cosa: nel testo non viene detto esplicitamente, ma immagino che la posizione dell'automobile venga cambiata quando ti danno la seconda possibilità, altrimenti sarebbe da idiota scegliere nuovamente la stessa porta dopo che hai appurato che la prima era sbagliata...

[walter.r]

Ciao ragazzi, non pubblico la soluzione......conoscendola .

Non sarebbe più un gioco.

Volevo solo dire che, pur conoscendo la soluzione, non mi viene istintivo condividerla, perchè "a istinto", nel ragionamento c'è qualcosa che non mi torna.

Tu che dici, Benny ??

[bellcar]

no, la macchina non viene spostata , ma se invece lo fosse? cosa fareste?.

secondo il principio di Bonolis conviene farsi pagare molto e andare a comprarla

saluti bellcar

[ing.bennyp]

e no, silberg, la posizione dell'auto resta immutata. Il presentatore ha ovviamente due vincoli, non può aprire la porta del concorrente e delle due rimaste ovviamente apre quella che non contiene l'auto.

No, torna, torna....tra l'altro se ci pensi si spiega in due parole e la soluzione è di una logica stringente.

Se vuoi ti posto via PM la semplice giustificazione della soluzione che già conosci.

Ciao, Benny

Modificato: 8 marzo 2007 da ing.bennyp

[walter.r]

Si, si, Benny, lo so. Il ragionamento non fa una grinza.

Però l'istinto ( sai, quella cosa che non ti spieghi come mai, ma ti dice di fare in un certo modo...) mi dice che quella "logica stringente", da un altro punto di vosto non è così stringente.....

Caso mai ne parliamo appena qualcuno da' la soluzione....

Ciao.

[Del_user_23717]

Ho provato a farmi un disegnino con le seguenti supposizioni.

Io scelgo la porta B

La macchina è dietro la porta B

Il presentatore apre la porta A e mi fa vedere che è vuota.

A questo punto tra la B e la C c'è il 50% di possibilità di trovarci la macchina no?

Quindi dal 33% iniziale le mie possibilità aumentano, ma non credo che aumentino ancora cambiando porta no?

Quindi secondo me cambiare o meno è del tutto indifferente...

Però mi pare troppo semplice, devo ammettere che non ci ho ragionato al 100% sopra, però sono curioso di sapere qual' è la soluzione....

Però ripensandoci, se è norma che il presentatore conceda di cambiare porta, mi vengono due considerazioni in mente:

A) Ho già da subito il 50% di probabilità, inquanto il presentatore dopo la mia scelta aprirà comunque una delle due porte sbagliate...

Perchè mi vuole fare cambiare porta? In questo caso rivoluzionerei la mia risposta e direi che non conviene cambiare mai!!

Modificato: 8 marzo 2007 da attilio fiocco

[ing.bennyp]

Che la probabilità iniziale sia del 33% è giusto.....

Che la probabilità salga al 50% se ritieni che sia del tutto indifferente o meno cambiare è giusto.....

Ti consolo dicendo che fin qui c'erano arrivati anche i cattedratici americani, ma la casalinga geniale andò oltre.

Questo è sbagliato sicuramente.

Ci volete pensare ancora o do la soluzione?

Ciao, Benny

Modificato: 8 marzo 2007 da ing.bennyp

[Del_user_23717]

Oppure, se consideriamo che le possibilità di sbagliare porta inizialmente sono del 66% e quindi maggiori rispetto alle probabilità di indovinare, una volta aperta una delle porte sbagliate, questa percentuale non si modifica (con l'eccezione che stavolta possiamo scartare una porta e fare un tentativo al 50% reale) e quindi è conveniente cambiare la propria scelta...

Modificato: 8 marzo 2007 da attilio fiocco

[ing.bennyp]

Ci sei quasi, ma hai sbagliato la percentuale e manca un avverbio......forza

Ciao, Benny

[Del_user_23717]

Provo a ricapitolare

Inizialmente la condizione è

Probabilità sfavorevoli 66,6% 2/3

Probabilità favorevoli 33,3% 1/3

Quando viene aperta una porta vuota devo ricalcolare le probabilità tra le due restanti ricordandomi che provengo sempre da una situazione in cui ho (avevo) maggiori probabilità di errore (66,6%)... anzi, non devo ricalcolare niente, la % rimane uguale.... ovvero sfavorevole, però avendo eliminato una porta perdente, mi conviene cambiare no?

Ho fatto un passo indietro o un passo avanti?

[manderli]

Io credo di aver capito dopo essermi fatto una tabellina che rappresentasse tutti i casi possibili, e poi contando quanti "NON cambi porta" avessero portato al successo rispetto ai cambi.

Il mio modesto intuito non mi avrebbe mai portato a questa conclusione , quindi credo che ci sia anche un sottile depistaggio dato dalla formulazione del gioco.

A mio avviso, è determinante e fuorviante il fatto che il presentatore non possa aprire la porta scelta dal concorrente.

Se così non fosse, allora sì che qualsiasi scelta finale del concorrente avrebbe la stessa probabilità di successo.

............................................. credo ......................

Ciao!

Macs

[ing.bennyp]

Quindi qual è la soluzione?

Visto che non la conoscevi già dall'inizio puoi azzardarla.

Ciao, Benny

[Del_user_23717]

Vediamo se regge...

Di seguito i casi possibili, in grassetto la scelta iniziale del concorrente

1. A (premio) B (aperta vuota) C (chiusa vuota) : Cambiando sbaglio

A (premio) B (chiusa vuota) C (aperta vuota) : Cambiando vinco

A (premio) B (aperta vuota) C (chiusa vuota) : Cambiando vinco

A (premio) B (chiusa vuota) C (aperta vuota) : Cambiando sbaglio

2. A (chiusa vuota) B (premio) C (aperta vuota) : Cambiando vinco

A (aperta vuota) B (premio) C (chiusa vuota) : Cambiando sbaglio

A (aperta vuota) B (premio) C (chiusa vuota) : Cambiando vinco

A (chiusa vuota) B (premio) C (aperta vuota) : Cambiando sbaglio

3. A (chiusa vuota) B (aperta vuota) C (premio) : Cambiando vinco

A (aperta vuota) B (chiusa vuota) C (premio) : Cambiando vinco

A (aperta vuota) B (chiusa vuota) C (premio) : Cambiando sbaglio

A (chiusa vuota) B (aperta vuota) C (premio) : Cambiando sbaglio

In questi casi, ho 6 probabilità su 9 di vincere cambiando la mia scelta, sempre che io non consideri i casi scritti in rosso, per il semplice fatto che non posso ripetere due volte lo stesso caso no?

[ing.bennyp]

Bravo Attilio,

la strategia vincente è quella di cambiare in ogni caso la scelta iniziale, in tale modo le probabilità di vincita passano a 2/3, ossia proprio quelle che hai indicato.

Ovviamente il risultato si approssima tanto più al 67% quanto più alto è il numero di puntate con persone che cambiano sempre.

La casalinga non vinse nulla, non aveva partecipato al gioco, se non la soddisfazione di far fare una bella figura a tutti i cattedratici che all'inizio l'avevano derisa.

Il gioco fu sospeso, perchè troppo a favore del concorrente......

Se volete vi posto una pagina che contiene un'applicazione Java che analizza i tre casi:

1) non cambio mai;

2) indiffrente;

3) cambio sempre;

che mostra come al crescere dei tentativi le percentuali si approssimano al 33%, 50% e 67%.

Secondo voi, in base a questa logica, anche nel gioco dei pacchi di Insinna, qualora l'infame proponga il cambio del proprio pacco con l'ultimo rimasto conviene cambiare? Tenete presente ache anche in tale caso l'infame sa dove si trova il premio maggiore.

Ciao, Benny

[walter.r]

Eccomi qua, Benny.

Attilio ha dato la soluzione, e qui possiamo aprire un piccolo ragionamento.

Premetto che, dal punto di vista del calcolo delle probabilità e del ragionamento puramente "matematico", la soluzione data non fa una grinza.

Però...... secondo me qualcosa non torna, e cioè il fatto che tutto il ragionamento si basa su TRE scelte disponibili, quando in realtà le scelte "efficaci" sono solo due, dato che il concorrente è consapevole che gli verrà comunque mostrata aperta una porta PERDENTE.

Se ci pensi bene, due dei tre casi possibili sono equivalenti.

Dal punto di vista delle probabilità forse no, ma dal punto di vista della possibilità di vincere l'auto, secondo me si.

Alla fine, forse il valore esatto di probabilità è davvero il 50%.

Vogliamo parlarne ??

[ing.bennyp]

Ok walter, parliamone....

No non concordo sul 50%, questa è la probabiltà complessiva se cambi o meno a naso, ripeto.

Cerchiamo di argomentare la correttezza del 2/3:

Allorché il concorrente ha fatto la scelta iniziale, aveva effettivamente una probabilità su tre che l'automobile in premio fosse dietro quella porta; per contro, c'era la probabilità di 2/3 che il premio fosse dietro una delle altre due porte.

La probabilità che il premio sia dietro una delle tre porte è P( A ) = P( B ) = P( C )= 1/3. Inizialmente il giocatore punta sulla porta B, dietro la quale non c'è il premio. La probabilità che l'automobile sia dietro A o C è complessivamente 1/3 + 1/3 = 2/3.

Dopo che il presentatore ha aperto la porta C, la probabilità che il premio sia dietro A o dietro C è 2/3... esattamente come era all'inizio! Infatti, già sapevamo che almeno una delle due porte era vuota: la sua apertura non ci ha fornito alcuna nuova informazione.

Dunque, la probabilità che l'automobile sia dietro delle due porte NON scelte è 2/3. Quando il presentatore rivela quale delle due è vuota, la probabilità resta invariata; così, la probabilità che l'automobile sia dietro l'altra porta è per l'appunto 2/3. Cambiando porta è come se il giocatore avvesse scelto DUE porte, anziché UNA.

Chiaro, no?

Ciao, Benny

Modificato: 11 marzo 2007 da ing.bennyp

[walter.r]

Si, si, Benny, è chiarissimo.

Ripeto, MATEMATICAMENTE parlando il discorso sta in questi termini.

Il problema che pongo io è un altro, diciamo di natura non matematica, ma FILOSOFICA.

Mettiti un attimo nei panni del concorrente: hai davanti tre porte, ne scegli una.

Nel momento in cui ti viene aperta una delle tre, e ovviamente è vuota, tu NON PUOI SAPERE dietro a quale delle due restanti è l'auto.

Quando hai fatto la scelta, la tua probabilità era di 1/3, ma nel momento in cui devi scegliere se cambiare, hai davanti SOLO DUE porte, e la tua probabilità di fare centro è di 1/2.

Questo quesito è secondo me il classico esempio di FORCA LOGICA, cioè vieni messo di fronte a due possibilità perche tu non veda la terza...

Lo scopo del concorrente NON E' quello di sapere quante probabilità ha, ma quello di VINCERE un premio.

In questo senso l'effetto MATEMATICO di avere, come dici anche tu, la possibilità "....di scegliere DUE porte anzichè UNA ....", non ha nessun effetto PRATICO, perchè una delle due porte che hai la possibilità di scegliere è comunque PERDENTE.

E quindi la scelta REALE resta fra due porte.

[ing.bennyp]

No, su questo non concordo, walter.

Questa sarebbe stata la probabilità se dall'inizio tu avessi dovuto scegliere tra due porte soltanto, non puoi liquidare la terza porta come ininfluente.

C'è poco da fare, se vuoi massimizzare le possibilità di vincita devi cambiare sempre la tua scelta, se ti leghi sentimentalmente alla prima scelta e non la cambi mai le minimizzi, se cambi a naso si verifica quanto dici tu.

Poichè oggi come oggi un'auto mi farebbe comodo, se fossi in quella situazione, e credo anche nel gioco di Insinna sia la stessa cosa, io cambierei la mia scelta iniziale a prescindere.

Ciao, Benny

Modificato: 12 marzo 2007 da ing.bennyp

[emanuele.croci]

Ciao,

Premesso che dal punto di vista MATEMATICO (cioè oggettivo!) non ci sono storie, la probabilità delle 2 porte rimaste è 2/3 contro 1/3.

Dal punto di vista FILOSOFICO quoto in pieno la spiegazione di Benny:

La mia interpretazione semplificata è la seguente:

- il concorrente sceglie la porta B

- il PRESENTATORE allora gli apre la porta A e gli fa vedere che non c'è nulla

- a questo punto la porta C "si mangia" tutte le possibilità di A e passa ai 2/3. E' come se la porta C, AVENDO AFFRONTATO E SUPERATO UN ESAME, ne fosse uscita rafforzata (mentre la porta B, non POTENDO ESSERE APERTA dal presentatore, non ha superato questo esame)

- è come... semplificando... quando una squadra di calcio supera un turno ad eliminazione diretta: ad es. FRANCIA - SPAGNA - INGHILTERRA arrivano ai quarti di finale dei campionati mondiali; le squadre si equivalgono tra loro; la FRANCIA elimina la SPAGNA => a questo punto la Francia (che ha già giocato) ha più probabilità dell'Inghilterra (che deve ancora giocare) di vincere la coppa...

Ciao, Emanuele

[walter.r]

Accidenti, che bel paragone, Emanuele...non avevo mai pensato di associare porte ..di legno e porte da calcio....

Comunque:

..questa non la capisco. Per quale motivo ?? Forse perchè giocando PRIMA arriva meno stanca alla finale ??

Ripeto e ri-ripeto: matematicamente OK !! Però penso anche che la matematica non possa spiegare tutto.

Andiamo per gradi:

Questa è UNA delle ipotesi, che potrebbe però anche essere : Inizialmente il giocatore punta sulla porta B, dietro la quale C'E' il premio. La probabilità che l'automobile sia dietro A o C è complessivamente 0/3 + 0/3 = 0/3.

Ricordiamo che, se il concorrente è dotato di sufficiente c**o da centrare subito la porta giusta, ed è sufficientemente cocciuto da rifiutare qualsiasi opzione, tutti gli altri ragionamenti sono aria fritta...

Avanti ancora:

Questo rimane vero anche nella mia ipotesi, cioè:Dopo che il presentatore ha aperto la porta C, la probabilità che il premio sia dietro A o dietro C è 0/3... esattamente come era all'inizio!

Quindi, alla fine, succede che il concorrente ha SOLO DUE opzioni :

1) Scegliere la porta giusta

2) Scegliere una delle porte sbagliate

L'inganno di cui parlavo sta nel fatto che la terza porta è un SEMPLICE DISTRATTORE: infatti, come affermate giustamente anche voi,

proprio perchè è messa lì apposta per fuorviare il ragionamento.

Tutto questo per dire cosa ??

ATTENZIONE: Noi siamo tecnici, tendiamo a spiegare tutto con i numeri, ma a volte le soluzioni stanno nelle parole. Se date un'occhiata alle tecniche di comunicazione di massa e all'uso delle FORCHE LOGICHE, forse riuscite a comprendere il mio ragionamento.

E, credetemi, anche per me è difficile ammettere che gli orizzonti sono a volte più larghi di come li vediamo.

[emanuele.croci]

OK, però Walter, permettimi che la tecnica chi usi tu non è CALCOLO DELLE PROBABILITA', lo chiamerei piuttosto CALCOLO DELLE CERTEZZE...!

Qual è la probabilità di vincere al superenalotto, supponendo che io abbia in mano la schedina vincente del superenalotto??? 100% !

Segui il calcolo di Benny , che è corretto ed è vero calcolo delle probabilità...

Il mio esempio della partita si riferisce al fatto che una squadra, avendo già giocato, ha superato con successo un turno eliminatorio (nel quale poteva anche uscire), e per questo le sue probabilità necessariamente aumentano del valore pari all'incertezza del turno superato

Ad es.:

Qual è la probabilità che io e te abbiamo di tirare 3 volte una moneta e che esca 3 volte testa? 1/8

Se però io ho già tirato 1 volta e ho fatto testa e tu non hai ancora tirato? Io: 1/4, tu: 1/8

Se però io ho già tirato 1 volta e ho fatto CROCE e tu non hai ancora tirato? Io: 0, tu: 1/8

Ciao, Emanuele

[walter.r]

C'è anche un'altra cosa da dire, Emanuele.

Se IO tiro una moneta tre volte per vedere quante volte esce testa, SO GIA' che esce tre volte croce.

Tu mi dirai: come fai a saperlo ?? Che calcolo di probabilità hai fatto ??

E io ti risponderò: nessuno, lo so perchè, in queste cose, sono per natura sf***to !!!

Come vedi, non c'è solo la matematica, in questo genere di cose.

So benissimo che il calcolo di Benny è corretto, dato che conoscevo la soluzione da prima.

Ho solo voluto USARE l'argomento per provare a dimostrare che determinate problematiche sono, come si usa dire, MULTIDISCIPLINARI.

Se qualcuno ci ha seguito nei ragionamenti, indipendentemente dalla correttezza o meno delle rispettive opinioni, spero si sia posto delle domande, abbia pensato che vi possono essere differenti strade per affrontare e risolvere i problemi, tecnici e non, che si presentano nella vita.

Viviamo in una società che tende a farci vivere di certezze, per fare in modo di farci rimanere tutti quanti superficiali e non farci andare a fondo delle cose.

Se anche una sola persona ha avuto per un momento un dubbio, beh, io sono già contento.

E con questo, se non avete altro da aggiungere, possiamo anche chiudere l'argomento e mettere RISOLTO nel titolo.......

Modificato: 13 marzo 2007 da walter.r

[ing.bennyp]

Se IO tiro una moneta tre volte per vedere quante volte esce testa, SO GIA' che esce tre volte croce.
Tu mi dirai: come fai a saperlo ?? Che calcolo di probabilità hai fatto ??
E io ti risponderò: nessuno, lo so perchè, in queste cose, sono per natura sf***to !!! 

Un matematico direbbe: "i tuoi tentativi si attestano molto lontano dalla parte alta della distribuzione a campana di Gauss" Purtoppo parliamo di statistica che di per se è una scienza strana, ricordo ancora quella definizione data da quel noto politico morto in terra straniera che diveva più o meno così: "La statistica è quella scienza per la quale in Italia ognuno mangia un pollo all'anno. E' pur vero però che ci sono tante persone che un pollo manco l'hanno visto in tutta la loro vita".....

Se anche una sola persona ha avuto per un momento un dubbio, beh, io sono già contento.

Io ne ho avuti alcuni e sono contento. Tra un dubbio e una certezza prego il buon Dio di mandarmi il primo.

Ciao, Benny

Modificato: 13 marzo 2007 da ing.bennyp