Esercizio Condensatori

[giuliuz]

Una sfera conduttrice cava di raggio R1 e raggio R2 viene caricata con una carica 2Q ed in seguito isolata. Successivamente viene posta all’interno della cavità una distribuzione di carica sferica, concentrica alla prima, di raggio R3 ( R3 < R1 ) e valore -q .

Determinare:

a)la densità di carica σ_R1 e σ_R2 presenti sulle superfici della sfera cava;

il campo elettrostatico E® (modulo e direzione) in tutto lo spazio;

c)il potenziale elettrostatico V® in tutto lo spazio;

d)nell’ipotesi che il centro della distribuzione di carica di raggio R3 venga spostato di una distanza x rispetto al centro della sfera cava, dire cosa succede al campo elettrico internamente alla sfera cava (R3<r<R1) ed esternamente la sfera cava, dire cosa succede al campo elettrico internamente alla sfera cava (r>R2).

P.S. è molto importante l’ultima domanda, se non riuscite a rispondere alle altre , rispondente solo alla D.

Modificato: 4 dicembre 2009 da giuliuz

[Federico Milan]

Vediamo se mi ricordo qulacosa ... la prima domanda penso si risolva con il teorema di Gauss, ossia consoderando la carica totale racchiusa nella fera R1 (ipotizando R1>R2>R3) quindi (2Q-q)/((superfice di R1)*(costante dielettrica)) è il nostro campo elettrico.

Il campo elettrico e diretto verso linterno radialmente.

Il potenziale V lo si calcola E*distanza

Se si sposta la carica interna, vado per intuito perchè non ho più le basi fisico matematiche per una dimostrazione formale. la distribuzione di carica non è più uniforme. Il vettore campo elettrico non seguirà più traittoie radiali, ...

ciao

[giuliuz]

grazie l'aiuto di qualcuno l'ho pensata cosi dovrebbe esser giusta.no?

Considera una superficie sferica concentrica con le due sfere cariche e avente raggio R , tale che

R1 < R < R2. Tale sfera è interamente contenuta nel conduttore, quindi in ogni suo punto P è:

E(P) = 0.

Pertanto, per il teorema di Gauss, deve essere nulla la carica contenuta nel suo interno. Quindi sulla superficie avente raggio R1 ci deve essere la carica + q . Dato che la sfera cava è isolata, la sua carica totale non può cambiare, quindi sulla sua superficie esterna ci sarà la carica 2Q - q.

(a) σ1 = q/4π R1² ; σ2 = (2Q - q)/4π R2²

Poiché la distribuzione ha simmetria sferica le superfici equipotenziali del campo sono sfere concentriche con la distribuzione e il flusso di E uscente dalla generica sfera di raggio r vale:

Φ(E) = E®*4π r²

basta valutare la carica Qint contenuta all'interno di tale sfera per ottenere:

E® = Qint/4πεo r²

Assumendo, per semplicità, che anche la sfera R3 sia conduttrice , si trova che :

E® = 0 per r < R3 e per R1 < r < R2 ;

E® = - q/4πεo r² per R3 < r < R1 (radiale e centripeto)

E® = (2Q - q)/4πεo r² per R2 < r ( radiale e centrifugo se (2Q - q) > 0)

Infine per il potenziale , posto V = 0 all'infinito, si ha:

V® = (2Q - q)/4πεo r per R2 ≤ r

V® = V(R2) per R1 ≤ r ≤ R2

V® = V(R2) + (q/4πεo)*(1/R1 - 1/r) per R3 ≤ r ≤ R1

(d) Campo e potenziale all'esterno (r > R2) non cambiano. Infatti la sfera cava fa da schermo.

Mentre il campo all'interno cambia. Non essendoci più la simmetria sferica il campo non è più calcolabile con il teorema di Gauss. Anche la densità σ1 non è più costante sulla superficie interna della sfera cava.