Ricerca Dei Punti Di Equilibrio Per Un Sistema Non Lineare

[dariodimaio]

Salve, avrei un dubbio riduardo la ricerca dei punti di equilibrio per un sistema non lineare

Considerato il modello di un sistema non lineare del tipo x' = g(x,u,t), la ricerca dei suddetti punti può essere fatta risolvendo g(x, u, t) = 0 per u costante.

Il mio dubbio deriva dalla natura di tale relazione per la ricerca dei punti di equilibrio.

Io ho provato a dare un abbozzo di dimostrazione, ora vorrei qualche parere riguardo la sua correttezza.

Considerando la soluzione del sistema, x(t) = f(x0, u, t) supponendo l'ingresso costante. Un generico punto x0 è di equilibrio se non si presenta evoluzione di stato.

Sviluppiamo tale espressione in serie di Taylor per un generico punto t0.

x(t) = f(x0, u, t0) + f'(x0, u, t)|t=t0 * (t-t0) + ...

Affinchè non ci sia evoluzione della x(t) è necessario che tutte le derivate siano nulle indipendetemente dal punto t0 scelto per sviluppare la serie. Quindi dovremo cercare i punti x0 che annullano tutte le derivate.

Ora se consideriamo che f'(x0, u, t) = x', ritroviamo la condizione x' = g(x, u, t) = 0 utilizzata per trovare i punti di equilibrio.

La mie domande sono,

1) Il procedimento seguito è corretto?

2) Qualora fosse corretto, perchè si valuta solo la prima derivata e non le successive? Per i sistemi LTI, un ragionamento analogo viene fatto per la ricerca degli stati non osservabili, e in quel caso si dimostra che è necessario verificare le prime n-1 derivate.

Grazie mille.

Dario.

[ClA]

Si, va be', controllo e regolazione, però questo quesito stava meglio nella sezione di matematica (intanto prendiamo un po' di tempo per ripassare... .)

[Beatrice_Ru]

Una precisazione per poterci raggionare sopra:

u è elemento Ingresso del Sistema ?

x è elemento degli Stati dl sistema (Insieme degli Stati X) ?

t è un elemeto temporale (Insieme dei tempi T) ?

g è la funzione di risposta ?

perciò g è la funzione di risposta del sistema assegnata ad un istante t0, e allo stato iniziale x(t0)

per la funzione d'ingresso u.

y(t)=g(x,u,t)

Il sistema è si non Lineare, ma non ha punti di discontinuità ?

Ti sei basato sul modello differenziale normale di un sistema non lineare,

dove:

u* è il vettore d'ingresso

x* è il vettore di stato

y* è il vettore d' uscita

si può ammettere un u0* un ingresso costante nel tempo, con x0* come stato di equilibrio relativo all' ingresso u0*

quindi f(x0*,u0*) = 0 (perciò sin qui penso sia corretto)

poi penso che gli stati di equilibrio relativi a tale ingresso possono essere più di uno (Nel sistema non Lineare).

Ti devo dire che la soluzione tramite la Serie di Taylor non l'ho mai usata, ed annulare tutte le derivate neppure.

Io uso spesso un metodo basato sulle matrici jacobine, estrapolate dalle equazioni :

x* = x0* + Delta x* ; u* = u0* + Delta u* ; y* = y0* + Delta y*

ma sempre se le funzioni g(., .) e f(., .) sono derivabili con la derivata prima continua nel [x0*,uo]

(questo dipende dalla classe del sistema).

Penso che i presupposti della tua dimostrazione abbiano una buona validità.

Magari mi documento anch' io, mi potrebbe venire utile usare il tuo metodo.

Per vedere la validità non potresti fare una prova, su un modello matematico che conosci e

controllare i risultati ?

Potrebbe essere utile nella dimostrazione, e ti aiuterebbe a trovare eventuali errori.

[dariodimaio]

Salve, innanzitutto grazie per le risposte. Mi scuso se ho sbagliato la sezione del forum, ho scelto controllo e regolazione perchè è un dubbio legato all'esame di Controllo Non Lineare.

Per rispondere a Beatrice_Ru,

Una precisazione per poterci raggionare sopra:

u è elemento Ingresso del Sistema ?

x è elemento degli Stati dl sistema (Insieme degli Stati X) ?

t è un elemeto temporale (Insieme dei tempi T) ?

g è la funzione di risposta ?

Si

perciò g è la funzione di risposta del sistema assegnata ad un istante t0, e allo stato iniziale x(t0)

per la funzione d'ingresso u.

y(t)=g(x,u,t)

Avevo assunto come g la funzione che esprime la relazione sulla x' (con questa notazione vorrei indicare x derivata, scusate se non l'ho specificato in precedenza) mentre l'espressione sulla soluzione dell'equazione differenziale è x(t)=f(..).

Leggendo tutto il tuo messaggio, penso che tu abbia solo confuso la g con la f, quindi mi trovo con quanto scritto da te.

Il sistema è si non Lineare, ma non ha punti di discontinuità ?

Premetto che la dimostrazione che sto seguendo non segue nessun libro, sto solo cercando di estendere quella utilizzata per la ricerca degli stati non osservabili nel caso LTI, ai punti di equilibrio di un sistema NL.

Da buon studente di ingegneria, non sono molto rigoroso con la matematica.

La risposta comunque è si, suppongo che la f(...) sia sviluppabile in serie di Taylor, qunidi che sia di classe C(inf).

Ti sei basato sul modello differenziale normale di un sistema non lineare,

dove:

u* è il vettore d'ingresso

x* è il vettore di stato

y* è il vettore d' uscita

si può ammettere un u0* un ingresso costante nel tempo, con x0* come stato di equilibrio relativo all' ingresso u0*

quindi f(x0*,u0*) = 0 (perciò sin qui penso sia corretto)

poi penso che gli stati di equilibrio relativi a tale ingresso possono essere più di uno (Nel sistema non Lineare).

Si, nel mio caso pongo g(...)=0, e ricavo le posizioni di equilibrio.

Ora, voglio provare a dimostrare che effettivamente le posizioni di equilibrio si trovino per g(...)=0. Ovunque, ho trovato solo questa assunzione senza nessuna giustificazione.

L'idea di partenza è la seguente, devo trovare le condizioni percui x(t) = f(...) sia costante, per una coppia x0, u0 (costante) generica. Per semplicità suppongo l'ingresso nullo.

Sviluppo la serie di Taylor sulla x(t) in un generico istante di tempo t0, dovendo valere per qualsiasi istante di tempo, cerco la x0 che mi garantisca che la x(t) sia costante (il sistema non evolve). Necessariamente tutte le derivate dovranno essere nulle.

La prima derivata è proprio la g(...) = x' e quindi mi trovo che g(...)=0.

Perchè il mio discorso sia valido è necessario che tutte le derivate siano nulle, quindi dovrei dimostrare che se la prima derivata è nulla lo sono anche le successive.

enso che i presupposti della tua dimostrazione abbiano una buona validità.

Magari mi documento anch' io, mi potrebbe venire utile usare il tuo metodo.

Per vedere la validità non potresti fare una prova, su un modello matematico che conosci e

controllare i risultati ?

Potrebbe essere utile nella dimostrazione, e ti aiuterebbe a trovare eventuali errori.

Ho provato, mi trovo che la derivata seconda, quindi ottenuta derivando la x', presenta la x' come prodotto, essendo quella nulla lo è pure la seconda.

Solo che non so se ciò è un caso, oppure se si verifica sempre.

Grazie.

Ciao.

[dariodimaio]

Mi andrebbe bene anche una dimostrazione diversa da quanto ho provato a proporre.

In sostanza, voglio capire come esce fuori la condizione sui punti di equilibrio di un sistema non lineare.

[dariodimaio]

Per tagliare la testa al toro ho fatto qualche prova, in generale per un sistema di equazioni x' = f(...), ponendo f(....)=0 è come porre le prime n derivate uguali a zero, con un pò di prove ho notato che le derivate di ordine n+i sono sempre nulle perchè dipendono dalle derivate di ordine inferiore secondo un legame di prodotto.

Questa non può proprio pensarsi come una dimostrazione, ma almeno dovrebbe rendere valido il discorso precedente.

Dopotutto che tutte le derivate dovessero essere nulle era già noto, perchè imponendo che f(...)=0 dovevo ottenere i punti di equilibrio. Il tutto era solo per provare a giustificarlo.

Grazie a chi mi ha risposto.

Saluti.

[ARTURO79]

Premesso sono un matematico ne tantomeno ho studiato controlli, il problema, secondo me non è cosi' complicato come lo state facendo diventare.

Tu cerchi una posizione di equilibrio (rispetto al tempo);una posizione è di equilibrio in due casi:

1. quando la grandezza è nulla per ogni variazione della variabile indipendente (nel tuo caso il tempo);

2. quando la grandezza rimane costante al variare della variabile indipendente.

Il primo caso è banale, il secondo caso si traduce matematicamente nel fatto che la derivata prima della grandezza è nulla rispetto alla variabile indipendente (analisi1).

Ripeto non so se il procedimento della serie di Taylor sia sensato.

[dariodimaio]

Ciò che dici è corretto, infatti l'espressione della x' è una informazione globale rispetto al tempo.

Il discorso sulla serie di Taylor, è corretto ma introduce una complicazione eccessiva ed inutile. Sono passato da questo procedimento, più complesso, perchè cercavo un legame tra i punti di equilibrio e quelli di non osservabilità. Per i secondi è necessario introdurre la serie di Taylor.

Il punto è che in realtà non c'è un vero e proprio legame tra punti di equilibrio e di non osservabilità. Quindi mi sono fatto trarre in inganno da ciò.

Ciao.