Park transformation

[kekkoian]

ciao, il libro dice testualmente:

 

The second stage (the Park transformation) is more radical as the new variables Id and Iq are in a rotating reference frame, and they remain constant under steady-state conditions.

 

Più avanti poi dice che:

 

It should be clear that the magnitude of the currents Id and Iq will depend on the angle λ, which is the angle between the two reference frames at a specified instant, typically at t =0.

 

Cioè prima dice che sono costanti e poi dice che dipendono dall' angolo λ. Forse è un errore ? Cioè vuole dire che le correnti Iα e Iβ dipenderebbero da λ?

Perchè navigando su internet ho trovato che 

 

Non avendo approfondito, alcune cose riesco solo ad intuirle per cui non sono sicuro e chiedo consulto.

Grazie

 

 

 

 

 

[kekkoian]

[Sandro Calligaro]

In effetti fa un po' di confusione.

 

Trasformazione di Clarke: da 3 fasi (senza neutro) a 2 fasi equivalenti (2 assi ortogonali tra loro) che formano un sistema di riferimento (coordinate) stazionario.

Si tratta semplicemente di eliminare una "coordinata", siccome c'è il vincolo di somma nulla tra le 3 tensioni e le 3 correnti di fase.

 

Trasformazione di Park: da 2 fasi (Clarke) a 2 fasi* su un sistema di riferimento sincrono, cioè che ruota sincrono con una certa posizione.

La trasformazione di Park (1929) è stata pensata per i motori sincroni, per i quali l'angolo sul quale ha senso posizionare il sistema di riferimento è la posizione meccanico-elettrica del rotore (cioè posizione meccanica x numero di coppie polari).

In un asincrono, l'angolo è solitamente quello del vettore del campo di rotore o di statore.

 

A regime, le grandezze in coordinate sincrone (dq) sono costanti, mentre nel riferimento stazionario (alpha,beta) sono sinusoidali (anzi, le grandezze della fase alpha coincidono con quelle della fase a).

 

Credo che la frase

It should be clear that the magnitude of the currents Id and Iq will depend on the angle λ, which is the angle between the two reference frames at a specified instant, typically at t =0.

sia veramente fuorviante.

L'ampiezza del vettore non cambia (le trasformazioni sono costruite in modo da mantenere l'ampiezza e non, ad esempio, la potenza), ma il valore delle due componenti dq dipende dalla fase relativa tra il vettore rotante ed il versore che rappresenta il sistema di coordinate.

 

Faccio un esempio con un vettore di corrente in un motore sincrono.

ia = Is cos(theta_me + phi)

ib = Is cos(theta_me + phi -2pi/3)

ic = Is cos(theta_me + phi -4pi/3)

 

i_alpha = Is cos(thetame + phi)

i_beta   = Is cos(thetame + phi + pi/2) = Is sin(thetame + phi)

 

id = Is cos(phi)

iq = Is cos(phi + phi + pi/2) = Is sin(phi)

 

Is è l'ampiezza delle 3 correnti di fase, nonché l'ampiezza del vettore di corrente (sia in riferimento stazionario che sincrono).

theta_me è la posizione meccanico-elettrica del rotore

phi è un angolo costante

 

Ad esempio, in un motore "brushless" (sincrono a magneti permanenti superficiali) si mantiene phi = pi/2 (90°), perché questo angolo massimizza il rapporto coppia/corrente.

 

Se hai dimestichezza coi numeri complessi, è molto comodo usare quella rappresentazione, anche se non è adatta a tutti i vari casi.

 

* In realtà, nell'articolo del 1929, Park passava direttamente da 3 fasi a 2 coordinate sincrone dq, anche perché la trasformazione di Clarke doveva ancora essere formalizzata (verrà pubblicata più tardi).

Non è vero, però, che il sistema di riferimento stazionario (Clarke) non si usi. Dipende dallo scopo. Se si parla di controllo di corrente (coppia) e flusso, allora sì, lo si fa sempre in dq, ma per altri scopi nel controllo si sfruttano le coordinate stazionarie (Clarke).

Modificato: 25 novembre 2018 da Sandro Calligaro

[kekkoian]

 

Da quello che mi sembra capire, il valore di Id e Iq dipende dall' angolo θ ma rimane costante al ruotare dei fasori cioè al cambiare di θ.

 

[Sandro Calligaro]

Proprio perché Ialpha e Ibeta sono sinusoidali (a regime), la loro moltiplicazione per coseno e seno dà valori costanti (non dipendono dall'angolo di rotore).

Geometricamente si tratta di una rotazione di coordinate: se guardi un vettore che ruota stando sullo statore, vedi due proiezioni sugli assi che sono coseno-seno (cioè sinusoidali nel tempo).

Se per guardare lo stesso vettore ti posizioni sul rotore (cioè su un sistema di riferimento solidale con il vettore rotante), allora vedi il vettore fermo (costante).

[Sandro Calligaro]

Con i numeri complessi e le formule di Eulero è ancora più facile.

Il vettore di corrente rotante diventa ad esempio

I_alpha-beta = Ialpha + j·Ibeta

che può essere scritto come

I_alpha-beta = Ialpha + j·Ibeta = Is·[cos(theta + phi) + j·sin(theta+phi)]

I_alpha-beta = Is·[cos(theta + phi) + j·sin(theta+phi)]= Is · e^{(j·theta+phi)}

 

La trasformazione di Park è una rotazione indietro di un angolo theta, cioè una moltiplicazione per e^-j·theta

I_dq = I_alpha-beta· e^-j·theta = Is · e^{(j·theta+phi)} · e^-j·theta = Is · e^{j·(theta+phi - theta)} = Is · e^j·phi

quindi

I_dq = Id + j·Iq = Is · e^j·phi

cioè

Id = Is·cos(phi)

Iq = Is·sin(phi)

che non dipendono da theta, ma sono costanti, se phi è costante (cosa che avviene a regime).

Modificato: 28 novembre 2018 da Sandro Calligaro