Trasformata Di Fourier - Dubbio su un segnale particolare...

[RobyMax1]

Salve a tutti!

Ho una domandina che mi sta spezzando il cervello :°°°(

Supponiamo di avere una forma d'onda di questo genere:

0<t<t1 sin(a*t)+sin(3*b*t)

t1<t<2*t1 sin(a*t)+sin(3*c*t)

In pratica ho prima una fondamentale con terza armonica e poi la STESSA fondamentale con sovrapposta una quinta armonica.

Estendendo questo segnale per continuità a tutto il tempo (quindi il periodo di questo segnale composto è 2*t1), se mi vado a fare la trasformata di fourier al segnale così ottenuto...ottengo una fondamentale alla freq della fondamentale dei due mezzi segnali (quindi f=1/t1) oppure con frequenza pari al segnale totale (quindi f=1/2t1)?

Qui stiamo uscendo pazzi...siamo ormai tutti contro tutti

Grazie!

Modificato: 27 aprile 2005 da RobyMax1

[ClA]

Sinceramente non ho al momento nè il tempo nè la freschezza dei neuroni per mettere a fare i conti.

Tuttavia penso che nessuna delle due risposte che ti sei dato sia corretta.

L'unica strada e mettersi a fare i conti (cioè gli integrali). Non vedo alcuna scorciatoia per trovare diversamente i coefficienti di Fourier.

Per altro, la presenza della discontinuità nella forma d'onda, ti indica la presenza di armoniche superiori.

Modificato: 27 aprile 2005 da ClA

[RobyMax1]

Mi sa che hai ragione...non resta che fare i conti... Ora mi metto e vi farò sapere...

Pensavo c fosse qualche teorema o caso particolare che ci viene in aiuto

Intanto grazie per la risposta!

[Stefano Sormanni]

ricordati però che per continuità deve essere:

sin(a*t1)+sin(3*b*t1)=sin(a*t1)+sin(3*c*t1)

ovvero: sin(3*b*t1)=sin(3*c*t1)

cioè b=c.......

altrimenti viene fuori un casino....

[ClA]

Scusa non capisco....

Continuità di che? il bello della teoria di Fourier è che si applica anche a funzioni molto irregolari (per spolverare la matematica dell'università, degli spazi L1 o L2, o delle distribuzioni).

Per ciò che riguarda il calcolo pratico, la presenza della discontinuità nell'integrazione non è un problema: spezzi l'integrale in più parti e lo calcoli separatamente.

[RobyMax1]

CIA, mi trovo con il tuo discorso. La continuità non è un limite per Fourier.

comunque ho fatto i calcoli...la fondamentale esiste!

Ho calcolato il coeffigiente Ak ed ho trovato che vale esattamente 3,14...

Ragionandoci a valle la cosa mi sembra piuttosto normale vista la definizione della serie di Fourier ed il relativo teorema.

Ho preso una bella sbandata.

Ringrazio ancora tutti.

[mircoelektra]

Scusate ma c' è qualcosa che non mi torna nel ragionamento (premettendo tuttavia che anch' io sono un po' a digiuno di trasformate & C. ... ...).

Tu dici che:

In pratica ho prima una fondamentale con terza armonica e poi la STESSA fondamentale con sovrapposta una quinta armonica.

ma scrivi le espressioni:

0<t<t1 sin(a*t)+sin(3*b*t)

t1<t<2*t1 sin(a*t)+sin(3*c*t)

che non mi pare siano coerenti con quanto descritto a parole ...

Se la "prima fondamentale" di cui parli è:

sin(a*t)

(quindi a è la pulsazione, cioè 2*pigreco*frequenza), la terza armonica dovrà essere a frequenza tripla, quindi:

sin(3*a*t)

così come la quinta armonica dovrà essere:

sin(5*a*t)

(in pratica non capisco perchè usi a, b e c, anzichè solo a ... non dovrebbe essere a=b=c ?)

I segnali sarebbero quindi:

sin(a*t)+B*sin(3*a*t) per 0<t<t1

sin(a*t)+C*sin(5*a*t) per t1<t<2*t1

(B e C che ho inserito stanno ad indicare l' ampiezza delle armoniche rispetto la fondamentale)

Andando ad analizzare la trasformata di Fourier (... non ho fatto i conti ... non so neanche se sarei in grado di farli ) "a naso" direi che lo spettro dovrebbe presentare almeno 4 righe:

una riga a frequenza f1=a/(2*pigreco), offero la frequenza della sinusoide "fondamentale"

una riga a frequenza f2=3*f1, ovvero la componente "terza armonica"

una riga a frequenza f3=5*f1, ovvero la componente "quinta armonica"

una riga a frequenza f4=1/(2*t1), ovvero la componente che tiene conto della periodicità del "segnale composto completo"

Aggiungerei inoltre un' altra osservazione:

se i due tratti di segnale non sono raccordati (ovvero se il segnale complessivo è discontinuo), questo è assimilabile ad un segnale "continuo" a cui sono sommati dei "gradini".

Se non ricordo male questo significa una riga spettrale a f=0 e una "componente bianca" (ovvero una "componente di fondo" che copre tutto il range di frequenza).

Comunque in un caso del genere, a conferma di quanto ipotizzato, piuttosto che mettermi a risolvere degli integrali proverei a costruire il segnale con qualche programma di calcolo numerico (tipo Matlab, o forse anche Excel ... non ricordo se fa le FFT) e a fargli calcolare lo spettro per vedere cosa salta fuori ...

Per curiosità ... qualcuno ha fatto il calcolo o eseguito una simulazione numerica? Qual' è il risultato?

Modificato: 27 aprile 2005 da mircoelektra

[RobyMax1]

Mirko, hai ragione!

Ho dimenticato di mettere a=b=c.

Sono d'accordo anche sul discorso del raccordo...

Alla fine di tutto il discorso...possiamo quindi dire che non esiste trasformata di Fourier senza componente fondamentale???

Grazie a tutti!

[ClA]

possiamo quindi dire che non esiste trasformata di Fourier senza componente fondamentale???

Non ho capito il senso della domanda.

Ma in generale la risposta è che può non esistere la componente fondamentale.

Prendi una sinusoide a 100 Hz (che è una funzione periodica di periodo 10ms e quindi anche di periodo 20ms): ha solo una componenete a 100 Hz ed è zero a 50 Hz.

[mircoelektra]

possiamo quindi dire che non esiste trasformata di Fourier senza componente fondamentale???

Non capisco il significato di "componente fondamentale" per una trasformata di Fourier ...

Si parla di "componente fondamentale", se non ricordo male dall' analisi matematica ( ), nel caso della SERIE di Fourier. La teoria di Fourier stabilisce che un segnale periodico continuo può essere scomposto in una serie di sinusoidi, in cui la prima ha frequenza uguale alla frequenza del segnale originale (componente fondamentale) e le altre hanno frequenza multipla (armoniche).

Se il segnale originale ha frequenza f, la serie sarà composta da sinusoidi di frequenza f, 2f, 3f, 4f, ecc. (non sarà presente nella serie, ad esempio, un segnale di frequenza 1,5 f)

La TRASFORMATA di Fourier è una generalizzazione della serie di Fourier, e può essere applicata anche per segnali non periodici o non continui.

Nel caso della trasformata di Fourier le frequenze possibili sono "infinite" (per intenderci lo spettro è continuo, e non a righe). Pertanto secondo me il concetto di "frequenza fondamentale" perde di significato ... un segnale è composto da infinite frequenze ... quali di queste è quella "fondamentale"?

Nel caso in esame però, pensandoci bene, il tuo segnale è periodico. Viene però a meno l' ipotesi di "continuità", e quindi non è applicabile la scomposizione in serie. La "fondamentale" della trasformata potrebbe essere tuttavia considerata la componente spettrale con la stessa frequenza del segnale periodico originale, cioè la riga a frequenza 1/(2*t1). Che ne dite?

Ho l' impressione che se un "matematico purista" leggesse questo mio post si metterebbe le mani nei capelli ...

[ClA]

La TRASFORMATA di Fourier è una generalizzazione della serie di Fourier, e può essere applicata anche per segnali non periodici o non continui.

La trasformata di Fourier si sostituisce alla serie di Fourier nel caso di segnali non periodici.

La continuità non c'entra: esiste la serie di Fourier anche per segnali non continui (es onda quadra) perché periodici.

[mircoelektra]

La continuità non c'entra: esiste la serie di Fourier anche per segnali non continui (es onda quadra) perché periodici.

Forse hai ragione tu ... non ricordo bene tutte le ipotesi necessarie per poter effettuare la scomposizione in serie.

Mi pare che la funzione da scomporre possa essere "discontinua a tratti" (in tal caso la serie nei punti di discontinuità dovrebbe convergere alla media tra i valori immediatamente a sinistra e a destra della discontinuità ...)

Comunque un vincolo sulla continuità della funzione mi pare che ci sia (e forse addirittura anche sulla derivata della funzione...).

Vabbeh! ... lasciamo perdere questi discorsi da "matematici" ... noi tecnici utilizziamo la trasformata che funziona sempre, no?

[ClA]

L'argomento è pittosto delicato, anche perché esistono diverse varianti della teoria di Fourier che assumo varie ipotesi sulle funzioni da sviluppare in serie di Fourier, o da trasformare.

Tieni conto che le teorie più eleganti e complete, suppungono che le funzioni da trasformare siano elementi degli spazi Lp (o anche spazi di distribuzioni).

Secondo questo punto di vista diventa irrilevante considerare il valore al quale converge una serie nei punti discontinuità.

[mircoelektra]

suppungono che le funzioni da trasformare siano elementi degli spazi Lp (o anche spazi di distribuzioni)

... qui le mie conoscenze matematiche si fermano proprio ...

[ClA]

Tradotto dal matematichese, significa che le proprietà di regolarità richieste ad una funzione, per cui si possa sviluppare in serie di Fourier, oppure calcolarne la trasformata, sono veramente minime.

Si può traformare "quasi tutto", anche le funzioni molto molto discontinue (a parte difficoltà pratiche di calcolo).

[mircoelektra]

Hai ragione ClA ... ho "rispolverato" la teoria di Fourier, e direi che la funzione di RobyMax1 è perfettamente sviluppabile in serie, e quindi esiste la fondamentale, a frequenza 1/(2*t1), e le armoniche, a frequenze multiple.

Quindi lo spettro dovrebbe risultare "a righe" senza "componenti bianche". Dico bene?

Almeno questo è quello che dovrebbe risultare da uno sviluppo analitico della serie.

Da uno studio numerico (ad esempio FFT calcolata sulla funzione "ricostruita" e rappresentata da una serie di punti) ovviamente saranno presenti componenti spettrali dovute alle approssimazioni.

Comunque le componenti frequenziali che mi aspetterei di vedere, oltre la fondamentale, sono alle frequenze f1=a/(2*pigreco), f2=3*f1, f3=5*f1.

Sono curioso di vedere il risultato ... RobyMax1 sei arrivato a qualche conclusione?

[RobyMax1]

Siamo davvero a livelli di matematica troppo spinti per me...

comunque ho rispolverato anche io la teoria di Fourier e mi trovo d'accordo con tutto quello detto fino ad ora.

Tuttavia mi resta solo un piccolo dubbio: può esistere una forma d'onda, periodica o prolungata per periodicità (nel senso che facciamo ripetere lo stesso segmento d'onda, ad esempio quello che vi ho proposto io, all'infinito) che ha ampiezza della frequenza fondamentale pari a zero?

Spero di aver chiarito un pò il mio dubbio.

Pensando alla definizione di Fourier mi sembrerebbe che la risposta sia negativa ma...così ad intuito non ne sono così sicuro.

Forse si potrebbe impostare un'equazione che annulli i coefficienti di Fourier Ak e Bk per k=1...........

Non so proprio.

[mircoelektra]

Ad intuito direi anch' io che la risposta è negativa ... se un segnale ha periodo T la serie di Fourier dovrà per forza contenere una sinusoide di periodo T, no? Altrimenti la somma di tutte le sinusoidi della serie come fa a dare il segnale originale?

Ma, per curiosità, perchè fai questa domanda?

[ClA]

Vuoi un esempio di funzione periodica di frequenza 50 Hz, con fondamentale nulla ?

Prendi una sinusoide a 100 Hz (che è anche periodica con frequenza 50 Hz).

Oppure prendi una funzione costante (anche una costante è una funzione periodica, di qualunque periodo).

[mircoelektra]

Gli esempi che hai fatto mi sembrano molto "giochetti matematici" .

Da un punto di vista "puramente matematico" è chiaro che se una funzione ha periodo T ha anche periodo 2T, 3T, ecc., ma da un punto di vista "pratico" ... una sinusoide a 100 Hz ha frequenza 100 Hz, non 50!

Se mandi una sinusoide a 100 Hz in ingresso a un filtro passabanda a 50 Hz, dal filtro non esce niente, perchè il segnale non ha componenti frequenziali a 50 Hz ... è per questo che non può esistere un segnale di frequenza f senza la "fondamentale" (cioè la componente sinusoidale a frequenza f), no?

A parte che a pensarci bene non so se anche da un punto di vista puramente matematico quello che dici è corretto ... come è definito il periodo di una funzione? Non è "il minimo T per cui f(t+T)=f(t)" ?

Se una funzione ha periodo 10 ms (100 Hz) è chiaro che si ripete ogni 10 ms, ma anche ogni 20 ms, 30 ms, ecc., ma il "periodo" definito matematicamente non è 10 ms?

Dovrebbe intervenire un matematico ...

Vabbeh .. discorsi puramente astratti che non hanno senso per la discussione..

[ClA]

A parte che a pensarci bene non so se anche da un punto di vista puramente matematico quello che dici è corretto ... come è definito il periodo di una funzione?  Non è "il minimo T per cui f(t+T)=f(t)" ?

E' corretto! Non è il minimo T per cui... ma un qualunque T per cui... (semmai quello con il minimo è il "periodo minimo"). Guarda su un qualunque testo di Analisi Matematica.

Capisco che questi discorsi forse non sono utili tutti, ma... ti assicuro, sono un ottimo esercizio per il cervello (almeno io la vedo così).

Comunque, ragiona "al contrario".

Immagina un qualunque sviluppo in serie di Fourier, ove la componente fondamentale è nulla.

Pensa ora alla funzione alla quale converge. Come sarà fatta questa funzione ?Quale sarà il suo periodo minimo?

[mircoelektra]

ma... ti assicuro, sono un ottimo esercizio per il cervello

E' vero , infatti a me questi discorsi piacciono, e questa discussione mi è stata molto utile per "ripassare" la teoria do Fourier!

Per quanto riguarda il discorso del "periodo minimo" ... se ad esempio andiamo a graficare nel tempo un segnale composto dalla somma di una sinusoide a 100 Hz ed una sinusoide a 150 Hz (entrambi multipli di 50 Hz), otteniamo un segnale che ha "periodo minimo" 20 ms, ma la componente a 50 Hz ("fondamentale") non esiste!

Da ciò si deduce che il mio discorso era sbagliato.

Il segnale, di periodo minimo 20 ms, ha "frequenza" 50 Hz, tuttavia la serie di Fourier (o la trasformata, che dir si volgia) non contiene componenti a 50 Hz.

Matematicamente il discorso non fa una grinza ... da un punto di vista "fisico" non riesco a "vedere bene" la cosa, ma è di sicuro così, la matematica non sbaglia! (o mi è sfuggito qualcosa?)

[ClA]

se ad esempio andiamo a graficare nel tempo un segnale composto dalla somma di una sinusoide a 100 Hz ed una sinusoide a 150 Hz (entrambi multipli di 50 Hz), otteniamo un segnale che ha "periodo minimo" 20 ms

sicuro?

[mircoelektra]

In realtà non sono sicuro ... provo a graficare la funzione che ho descritto

x=[0:0.0001:0.04];
y=sin(2*pi*100*x)+sin(2*pi*150*x);
plot(y)

(le righe che ho riportato sopra sono quelle che ho utilizzato in Octave per disegnare il grafico, dovrebbero funzionare anche con Matlab, da quel che so sono compatibili)

Il grafico si ripete ogni 20 ms!

[ClA]

E si, hai ragione. Che tristezza farsi venire questi dubbi.

Significa che i neuroni sono fuori allenamento. Che direbbero i miei vecchi docenti di Matematica?

La tua funzione è un altro esempio di funzione periodica di periodo 20ms, la cui componente fondamentale a 50Hz è nulla (meglio dire che è nulla piuttosto che "non esiste", un matematico si arrabbierebbe)